Hvad er Fermi Dirac-distribution? Energibånddiagram og tilnærmelse fra Boltzmann

Hvad er Fermi Dirac-distribution? Energibånddiagram og tilnærmelse fra Boltzmann

Elektroner og huller spiller en vigtig rolle i overførslen af ​​elektricitet i halvledere . Disse partikler er arrangeret på et andet energiniveau i en halvleder. Elektroners bevægelse fra et energiniveau til et andet genererer elektricitet . En elektron inde i metallet skal have et energiniveau, der mindst er større end overfladebarrierenergien for at flygte til et højere energiniveau.



Der var mange afhandlinger foreslået og accepteret, der forklarede elektronernes egenskaber og opførsel. Men en vis opførsel af elektron, såsom uafhængigheden af ​​emissionsstrømmen på temperatur osv. ... forblev stadig et mysterium. Så et gennembrud statistik, Fermi Dirac Statistik , udgivet af Enrico Fermi og Paul Dirac i 1926 hjalp med at løse disse gåder.


Fra da Fermi Dirac-distribution anvendes til at forklare en stjernes sammenbrud til en hvid dværg, til at forklare fri elektronemission fra metaller osv ...





Fermi Dirac-distribution

Før du går ind i Fermi Dirac Distribution-funktion lad os se på energien distribution af elektroner i forskellige typer halvledere. Den maksimale energi af et frit elektron kan have i et materiale ved absolut temperatur, dvs. ved 0k er kendt som Fermi energiniveau. Værdien af ​​Fermi-energi varierer for forskellige materialer. Baseret på den energi, som elektroner har i en halvleder, er elektroner arrangeret i tre energibånd - Ledningsbånd, Fermi energiniveau, Valency-bånd.

Mens ledningsbånd indeholder ophidsede elektroner, indeholder valensbånd huller. Men hvad betød Fermi-niveauet for? Fermi-niveau er energitilstanden, som sandsynligvis ½ bliver optaget af en elektron. Enkelt sagt er det det maksimale energiniveau, som en elektron kan have ved 0k, og sandsynligheden for at finde elektronen over dette niveau ved absolut temperatur er 0. Ved absolut nul temperatur vil halvdelen af ​​Fermi-niveauet blive fyldt med elektroner.



I energibånddiagram over halvleder ligger Fermi-niveau midt i lednings- og valensbånd for en iboende halvleder. For ydre halvleder ligger Fermi-niveau nær valensbånd i P-type halvleder og for N-type halvleder , det ligger tæt på ledningsbåndet.


Fermi energiniveau er betegnet med ERF, ledningsbåndet betegnes som ERC og valensbånd betegnes som EV.

Fermi niveau i N og P typer

Fermi niveau i N og P typer

Fermi-niveau i N- og P-halvledere

Fermi Dirac-distributionsfunktion

Sandsynligheden for, at den tilgængelige energitilstand 'E' vil blive optaget af en elektron ved absolut temperatur T under betingelser med termisk ligevægt, gives af Fermi-Dirac-funktionen. Fra kvantefysik er Fermi-Dirac Distribution Expression

Hvor k er Boltzmann konstant i ELLERTIL , T er temperaturen i 0TIL og ERF er Fermi-energiniveauet i eV.k = 1,38X10-2. 3J / K

Fermi-niveauet repræsenterer energitilstanden med en 50% sandsynlighed for at blive fyldt, hvis der ikke findes noget forbudt bånd, dvs. E = EF derefter f (E) = 1/2 for enhver temperaturværdi.

Fermi-Dirac-distribution giver kun sandsynligheden for statens belægning på et givet energiniveau, men giver ingen oplysninger om antallet af tilgængelige stater på dette energiniveau.

Fermi Dirac Distribution and Energy Band Diagram

Fermi Dirac plot

f (E) Vs (E-EF) grund

Ovenstående plot viser Fermi-niveauets opførsel ved forskellige temperaturområder T = 00K, T = 3000K, T = 25000TIL.T = 0K , kurven har trinlignende egenskaber.

T = 00TIL , kan det samlede antal energiniveauer optaget af elektroner kendes ved hjælp af Fermi-Dirac-funktionen.

For et givet energiniveau E> EF bliver det eksponentielle udtryk i Fermi-Dirac-funktionen 0 og hvilket betyder, at sandsynligheden for at finde det besatte energiniveau af energi større end ERF er nul.

For et givet energiniveau ERF hvis værdi betyder, at alle energiniveauer med energi er mindre end Fermi-niveau EFvil blive besat kl T = 00TIL . Dette indikerer, at Fermi-energiniveauet er den maksimale energi, som en elektron kan have ved absolut nul temperatur.

Til temperaturer, der er højere end absolut temperatur og E = EF derefter uafhængig af temperaturens værdi.

Til temperaturer, der er højere end absolut temperatur og ERF , så vil den eksponentielle være negativ. f (E) starter ved 0,5 og har tendens til at stige mod 1, når E falder.

Til temperaturer, der er højere end absolut temperatur og E> EF , vil den eksponentielle være positiv og øges med E. f (E) starter fra 0,5 og har tendens til at falde mod 0, når E øges.

Fermi Dirac Distribution Boltzmann tilnærmelse

Maxwell-Boltzmann-distribution er den mest anvendte Fermi Dirac fordeling tilnærmelse .

Fermi-Dirac Distribution gives af

Ved ved hjælp af Maxwell - Boltzmann-tilnærmelse ovenstående ligning er reduceret til

Når forskellen mellem transportørens energi og Fermi-niveau er stor sammenlignet med, kan udtrykket 1 i nævneren ignoreres. Til anvendelse af Fermi-Dirac-distribution skal elektronen følge Paulis eksklusive princip, hvilket er vigtigt ved høj doping. Men distributionen af ​​Maxwell-Boltzmann forsømmer dette princip, og Maxwell-Boltzmann-tilnærmelsen er derfor begrænset til dårligt dopede tilfælde.

Fermi Dirac og Bose-Einstein Statistik

Fermi-Dirac-statistik er en gren af ​​kvantestatistikker, der beskriver fordelingen af ​​partikler i energitilstande, der indeholder identiske partikler, der adlyder Pauli-eksklusionsprincippet. Da F-D-statistikker anvendes på partikler med halvtalt spin, kaldes disse fermioner.

Et system bestående af termodynamisk ved ligevægt og identiske partikler, i enkeltpartikel-tilstand I, er det gennemsnitlige antal fermioner givet ved F-D-fordeling som

hvor er tilstanden med en enkelt partikel jeg , er det samlede kemiske potentiale betegnet med, tilB er Boltzmann konstant, mens T er den absolutte temperatur.

Bose-Einstein statistik er det modsatte af F-D statistik. Dette anvendes på partikler med fuldt hel spin eller intet spin, kaldet Bosons. Disse partikler adlyder ikke Pauli-eksklusionsprincippet, hvilket betyder, at den samme kvantekonfiguration kan udfyldes med mere end en boson.

F-D-statistik og Bore-Einstein-statistik anvendes, når kvanteeffekten er vigtig, og partiklerne ikke kan skelnes.

Fermi Dirac Distribution Problem

Overvej i et solidt energiniveau, der ligger 0,11 eV under Fermi-niveauet. Find sandsynligheden for, at dette niveau ikke optages af elektronen?

Fermi Dirac Distribution Problem

Fermi Dirac Distribution Problem

Dette handler om Fermi Dirac-distribution . Fra ovenstående information kan vi endelig konkludere, at et systems makroskopiske egenskaber kan beregnes ved hjælp af en Fermi-Dirac-funktion. Det bruges til at kende Fermi energi i både nul og endelige temperatur tilfælde. Lad os besvare et spørgsmål uden beregninger baseret på vores forståelse af Fermi-Dirac distribution. For et energiniveau E, 0,25e.V under Fermi-niveauet og temperaturen over den absolutte temperatur, falder Fermi-distributionskurven mod 0 eller stiger mod 1?