Kondensatorinduktorberegninger

Induktorer kan forestilles som det modsatte af kondensatorer. Hovedforskellen mellem en kondensator og en induktor er, at en kondensator bærer et beskyttende dielektrikum mellem sine plader, hvilket hæmmer ledning af strøm gennem sine terminaler. Her fungerer det som et åbent kredsløb.

På den anden side er induktansen af ​​en induktor normalt (dog ikke altid) med utrolig lav eller minimal modstand. Det opfører sig i det væsentlige som et lukket kredsløb.

Kondensatorinduktor Dualitet

Der findes et unikt udtryk i elektronik for denne type forhold mellem to parametre i et kredsløb eller dele af et kredsløb. Elementerne i denne type par kaldes dualer af hinanden . For eksempel er et åbent kredsløb det dobbelte af et lukket kredsløb, afhængigt af evnen til at lede strøm.

På samme princip er en induktor den dobbelte af en kondensator. Dualiteten af ​​induktorer og kondensatorer er meget dybere end blot den naturlige kapacitet til at lede strøm.

I denne artikel sammenligner vi arbejdsprincippet for induktor og kondensator for og evaluerer resultaterne med beregninger og formler.

På trods af at induktorer normalt sjældent ses i elektroniske kredsløb, da de i dag hovedsagelig er erstattet af opamper i aktive filtre), synes de andre dele, der er involveret i et kredsløb, at have en vis mængde induktans.

Selvinduktansen af ​​terminalerne på en kondensator eller modstand bliver et stort problem i højfrekvente kredsløb, hvilket forklarer, hvorfor blyfri overflademonterede modstande og kondensatorer så ofte anvendes i sådanne applikationer.

Grundlæggende kondensatorligninger

Den grundlæggende ligning for kondensatorer er den, som farad er defineret med:

C = Q / I [ligning 19]

hvor C er kapacitansen i farad, Q er ladningen i coulomb, og U er pd mellem pladerne i volt.

Gennem ligning 19 opnår vi en formel med formen Q = ∫ I dt + c hvor c er den oprindelige ladning, hvis den er tilgængelig. Efter at have identificeret Q er vi i stand til at bestemme U ud fra ligning. 19:

U = 1 / C ∫ I dt + c / C. [Lig.21]

En vigtig egenskab ved en kondensator kan være sådan, hvis der påføres en periodisk strøm til den (normalt en strøm, der svinger sinusformet), svinger opladningen på kondensatoren og spændingen over den også sinusformet.

Ladnings- eller spændingskurven er en negativ cosinuskurve, eller vi kan forestille os den som en sinuskurve, der hænger bag den aktuelle kurve ved Pi / 2-drift (90 °).

Den grundlæggende ligning, der definerer Henry, induktansenheden, er

L = NΦ / I [Ligning 22]

Med henvisning til en enkelt spole kan selvinduktansen i henry være fl ux-forholdet (den magnetiske fl ux<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N (dΦ / dt) [Lig.23]

Hvad denne ligning antyder, er det faktum, at e.m.f. induceret i en induktor er i forhold til den sammenkædede ændringshastighed på fl ux.

Jo hurtigere varies ux varierer, jo højere er den inducerede e.m.f. For eksempel når strømmen over induktoren eller spolen stiger med en hastighed på 2 mWb s^-1og forudsat at spolen har tyve fem omdrejninger, så er U = 25x2 = 50V.

Stien til e.m.f. er sådan, at den modstår variationer i flux som beskrevet i Lenzs lov.

Denne sandhed påpeges ofte ved at gå foran højre ligning med et minustegn, men så længe vi mener, at U er bagsiden emf, kunne tegnet fjernes.

Differentialer

Udtrykket dΦ / dt i ækv. 23 angiver, hvad vi lærte som ændringshastigheden for fl ux. Udtrykket kaldes differencen af ​​Φ med hensyn til t, og en hel gren af ​​aritmetik er dedikeret til at arbejde med denne form for udtryk. Udtrykket har form af et enkelt tal (dΦ) divideret med endnu en mængde (dt).

Differentialer anvendes til at forbinde adskillige sæt proportioner: dy / dx, for eksempel, corelaterer variabler x og y. Når en graf er plottet ved hjælp af værdierne x på tværs af den vandrette akse og værdierne y på tværs af den lodrette akse, betyder dy / dx, hvor stejl hældningen er eller gradienten af ​​grafen.

Hvis U er FET-gate-kildespændingen, hvor T er den relaterede afløbsstrøm, betyder dI / dU den mængde, hvormed jeg ændrer sig for givne ændringer i U. Alternativt kan vi sige, at dI / dU er trans-konduktansen. Mens vi diskuterer induktorer, kan dΦ / dt være hastigheden for ændring af fl ux med tiden.

Beregning af en differentiering kan betragtes som den inverse procedure for integration. Der er ikke tilstrækkelig plads i denne artikel til at undersøge teorien om differentiering, ikke desto mindre vil vi definere en tabel over almindeligt anvendte mængder sammen med deres differentier.

Standardforskelle

Tabellen ovenfor fungerer ved at bruge I og t som faktorer i stedet for rutinen x og y. Så dens detaljer er specifikt relevante for elektronik.

Som et eksempel, i betragtning af at I = 3t +2, kan den måde, jeg afviger med hensyn til tid, visualiseres i grafen i fig. 38. For at finde hastigheden for ændring af I til enhver tid estimerer vi dI / dt ved at med henvisning til tabellen.

Det første element i funktionen er 3t, eller for at formatere det som den første linje i tabellen, 3t¹. Hvis n = 1, er differencen 3t^1-1= 3t⁰.

Da t⁰= 1, forskellen er 3.

Den anden mængde er 2, der kan udtrykkes som 2t⁰.

Dette ændrer n = 0, og størrelsen af ​​forskellen er nul. Differentialet for en konstant vil altid være nul. At få begge disse kombineret, har vi:

dI / dt = 3

I denne illustration inkluderer forskellen ikke t, det betyder, at forskellen ikke er afhængig af tid.

Kort sagt er kurvens hældning eller gradient i fig. 38 konstant 3 hele tiden. Figur 39 nedenfor viser kurven for en anden funktion, I = 4 sin 1,5t.

Med henvisning til tabellen er α = 1,5 og b = 0 i denne funktion. Tabellen viser, dl / dt = 4x1.5cos1.5t = 6cos 1.5t.

Dette informerer os om den øjeblikkelige ændringshastighed på I. F.eks. Ved t = 0,4, dI / dt = 6cos0.6 = 4,95. Dette kunne bemærkes i fig. 39, hvor kurven for 6 cos0.6t inkluderer værdien 4,95, når t = 0,4.

Vi kan også observere, at hældningen på kurven 4sin1.5t er 4,95, når t = 0,4, som vist ved tangenten til kurven på det tidspunkt, (med hensyn til de forskellige skalaer på de to akser).

Når t = π / 3, et punkt, når strømmen er på sit højeste og konstant, i dette tilfælde dI / dt = 6cos (1.5xπ / 3): 0, svarende til nulændring af strømmen.

Tværtimod, når t = 2π / 3 og strømmen skifter på det højest mulige niveau fra positiv til negativ, dI / dt = 6cosπ = -6, ser vi dens højeste negative værdi og udviser en høj strømreduktion.

Den enkle fordel ved forskelle er, at de giver os mulighed for at bestemme ændringshastigheder for funktioner, der er meget mere komplekse sammenlignet med I = 4sin 1,5t, og uden at skulle plotte kurverne.

Tilbage til beregninger

Ved at omorganisere vilkårene i ligning 22 får vi:

Φ = (L / N) I [Lig.24]

Hvor L og N har konstante dimensioner, men Φ og I kan have en værdi med hensyn til tid.

At differentiere de to sider af ligningen med hensyn til tid giver:

dΦ / dt = (L / N) (dI / dt) [Ligning 25]

At slå denne ligning sammen med ligning 23 giver:

U = N (L / N) (dI / dt) = L (dI / dt) [Ligning 26]

Dette er en anden måde at udtrykke Henry . Vi kan sige, at en spole med selvinduktans på 1 H, en strømændring på 1 A s^-1genererer en ryg e.m.f. af 1 V. Givet en funktion, der definerer, hvordan en strøm varierer med tiden, er ækv. 26 hjælper os med at beregne bagsiden e.m.f. af en induktor til enhver tid.

Følgende er et par eksempler.

A) I = 3 (en konstant strøm på 3 A) dl / dt = 0. Du kan ikke finde nogen strømændring, derfor er bagsiden e.m.f. er nul.

B) I = 2t (en rampestrøm) dI / dt = 2 A s^-1. Med en spole, der bærer L = 0,25 H, er bagsiden e.m.f. vil være konstant ved 0,25 x 2 = 0,5 V.

C) I = 4sin1.5t (den sinusformede strøm, der er angivet i den foregående illustration dl / dt = 6cos 1,5t. Givet en spole med L = 0,1 H, er den øjeblikkelige back emf 0,6cos1,5t. Bagsiden emf følger differentialkurven 39, men med amplitude 0,6 V snarere end 6 A.

Forståelse af 'Duals'

Følgende to ligninger betyder ligningen af ​​henholdsvis en kondensator og spole:

Det hjælper os med at bestemme niveauet for spænding, der produceres over komponenten ved at variere i strøm i henhold til en bestemt funktion.

Lad os evaluere resultatet opnået af differentierende L- og H-siderne i ligning 21 med hensyn til tid.

dU / dt = (1 / C)I

Som vi ved er differentiering det modsatte af integration, differentiering af ∫I dt vender integrationen, med kun jeg som resultat.

At differentiere c / C giver nul, og omarrangering af vilkårene giver følgende:

I = C.dU / dt [Ligning 27]

Dette giver os mulighed for at kende strømens retning, uanset om den går mod kondensatoren eller kommer ud af den som reaktion på en spænding, der varierer i henhold til en given funktion.

Det interessante er, at ovenstående kondensatorstrømsligning ligner spændingsligningen (26) for en induktor, der viser kapacitans, induktansdualitet.

Tilsvarende kan strøm- og potentialforskellen (pd) eller ændringshastigheden for strøm og pd være dualer, når de anvendes på kondensatorer og induktorer.

Lad os nu integrere ligning 26 med hensyn til tid til at fuldføre ligningskvadretet:

∫ U dt + c = LI

Integralet af dI / dt er = I, vi omarrangerer udtrykkene for at få:

I = 1 / L∫ U dt + e / L

Dette ser igen meget ud som ligning 21, hvilket yderligere beviser den dobbelte karakter af kapacitans og induktans og deres pd og strøm.

Nu har vi et sæt på fire ligninger, der kan bruges til at løse kondensator- og induktorrelaterede problemer.

For eksempel kan ligning 27 anvendes til at løse problemet som dette:

Problem: En spændingsimpuls påført over en 100uF frembringer en kurve som vist i figuren nedenfor.

Dette kan defineres ved hjælp af følgende stykkevise funktion.

Beregn strømmen, der bevæger sig gennem kondensatoren, og plot de tilsvarende grafer.

Opløsning:

I den første fase anvender vi ligning 27

I = C(dU / dt) = 0

For det andet tilfælde hvor U kan stige med en konstant hastighed:

I = C (dU / dt) = 3C = 300μA

Dette viser en konstant ladestrøm.

For den tredje fase, når U falder på en eksponentiel måde:

Dette indikerer strøm, der flyder væk fra kondensatoren i en eksponentiel faldende hastighed.

Faseforhold

I den abobe figur påføres en alternerende pd på en induktor. Denne pd kan til enhver tid udtrykkes som:

Hvor Uo er topværdien af ​​pd. Hvis vi analyserer kredsløbet i form af en sløjfe og anvender Kirchhoffs spændingslov i urets retning, får vi:

Men da strømmen er sinusformet her, skal udtrykkene i parentes have værdien lig med topstrømmen Io, derfor får vi endelig:

Hvis vi sammenligner ligning 29 og ligning 30, finder vi ud af, at strømmen I og spændingen U har samme frekvens, og jeg hænger bagefter U ved π / 2.

De resulterende kurver kan være undersøgelser i følgende diagram:

C

Dette viser det kontrasterende forhold mellem kondensator og induktor. For en induktorstrøm halter potentialforskellen med π / 2, mens for en kondensator fører strømmen pd. Dette viser endnu en gang den dobbelte karakter af de to komponenter.